Regla de la cadena.
En muchos casos al intentar derivar una función \(f\left(x\right)\) se tiene una función la cual no se ajusta de manera directa a ninguna de las reglas de derivación mencionadas en la sección anterior, por ejemplo, una regla básica de derivación es $$\frac{d}{dx}\left[\sin{x}\right]=\cos{x},$$ pero que pasaría si se le pide determinar, $$\frac{d}{dx}\left[\sin{4x}\right]\ ;\ \ \ \ \frac{d}{dx}\left[\sin{x^2}\right];\ \ \ \ \frac{d}{dx}\left[\sin{y}\right];$$ note que la regla no expresa como determinar la derivada cuando el argumento es \(4x;\ x^2\) o cuando es \(\sin{y}.\) Para tales casos se hace necesario el uso de otras técnicas auxiliares para los fines. Una de estas técnicas es conocida como la regla de la cadena la cual se enuncia como sigue.
Regla de la cadena:
Si \(y=u(x)\) y \(u(x)\) es una función derivable en \(x,\) entonces se tiene que la derivada de ye con respecto de \(x\) es,
$$y^\prime=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}\ \ \ {\rm donde}\ \ \ \ \ \frac{du}{dx}=u^\prime$$
Las principales reglas de derivación mediante el uso de la regla de la cadena se resumen en la tabla siguiente, donde se supone que u es una función derivable de x, y además \(u\neq0.\)
Ejemplo 1. Uso de la regla de la cadena. Derivar \() y=\left(5x+\sqrt3\right)^3\)
Solución: existen dos maneras de realizar el ejercicio, desarrollando el binomio y después derivar. y la otra usar la regla de la cadena, para esto sea \( u=5x+\sqrt3\) entonces \(y=u^3\) de donde,
\begin{align}
& y^\prime=\ \frac{d}{dx}\left[u^3\right]=3u^2\frac{du}{dx}\\
&y^\prime=3\left(5x+\sqrt3\right)^2\frac{d}{dx}\left(5x+\sqrt3\right)\\
&y^\prime=3\left(5x+\sqrt3\right)^2\left(5\right)\\
&y^\prime=15\left(5x+\sqrt3\right)^2\end{align}
Ejemplo 2. Regla de la cadena para un radical. Derivar \(y=\sqrt{x^3+3x^2}\)
Solución: sea \(u=x^3+3x^2\) entonces \(y=\sqrt u=u^{1/2}\) de donde se tiene:
\begin{align}
&y^\prime=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\frac{du}{dx}\ =\frac{1}{2}\frac{1}{u^\frac{1}{2}}\frac{d}{dx}\left(x^3+3x^2\right)\\
&y^\prime=\frac{1}{2\sqrt u}\left(3x^2+6x\right)=\frac{3x^2+6x}{2\sqrt{x^3+3x^2}}\\
&y^\prime=\frac{3x\left(x+2\right)}{2x\sqrt{x+3}}=\frac{3\left(x+2\right)}{2\sqrt{x+3}}\end{align}
Ejemplo 3. Determinar la derivada de \(y=x^2\sqrt[3]{3x^2+5}\)
Solución: como es un producto se tiene,
\begin{align}
&\frac{d}{dx}(uv)=vu'+uv'\\
&y^\prime=\sqrt[3]{3x^2+5}\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+x^2\frac{d}{dx}\left(\sqrt[3]{3x^2+5}\right)\\
&y^\prime=2x\sqrt[3]{3x^2+5}+x^2\frac{d}{dx}\left(3x^2+5\right)^\frac{1}{3}\\
&y^\prime=2x\sqrt[3]{3x^2+5}+x^2\frac{1}{3}\left(3x^2+5\right)^{-\frac{2}{3}}\left(6x\right)\\
&y^\prime=2x\sqrt[3]{3x^2+5}+2x^3\frac{1}{\left(3x^2+5\right)^\frac{2}{3}}\\
&y^\prime=2x\sqrt[3]{3x^2+5}+\frac{2x^3}{\sqrt[3]{\left(3x^2+5\right)^2}}\\
&y^\prime=2x\left(\sqrt[3]{3x^2+5}+\frac{x^2}{\sqrt[3]{\left(3x^2+5\right)^2}}\right)\end{align}
Ejemplo 4. Dada la función
$$y=6x^3+\frac{2x}{\sqrt{x^3+1}}$$
determinar su derivada.
\begin{align}
&y^\prime=\frac{d}{dx}\left[6x^3\right]+\frac{d}{dx}\left[\frac{2x}{\sqrt{x^3+1}}\right]\\
&y^\prime=18x^2+\frac{\left(\sqrt{x^3+1}\right)D_x\left[2x\right]-2x\ D_x\left[\sqrt{x^3+1}\right]}{\left(\sqrt{x^3+1}\right)^2}\end{align}
Para
\begin{align}
&D_x\left[\sqrt{x^3+1}\right]\ {\rm sea}\ u=x^3+1\ \ {\rm entonces} \ \ \frac{d}{dx}\left(u^{1/2}\right)=\frac{1}{2\sqrt u}\frac{du}{dx}\\
&y^\prime=18x^2+\frac{2\sqrt{x^3+1}-2x\frac{1}{2\sqrt{x^3+1}}\left(3x^2\right)}{x^3+1}\\
&y^\prime=18x^2+\frac{2\sqrt{x^3+1}-\frac{3x^3}{\sqrt{x^3+1}}}{x^3+1}=18x^2+\frac{\frac{2\left(x^3+1\right)-3x^3}{\sqrt{x^3+1}}}{x^3+1}\\
&y^\prime=18x^2+\frac{2\left(x^3+1\right)-3x^3}{\left(x^3+1\right)\sqrt{x^3+1}}=18x^2+\frac{2}{\sqrt{x^3+1}}-\frac{3x^3}{\left(x^3+1\right)\sqrt{x^3+1}}\\
&y^\prime=18x^2-\frac{3x^3}{\left(x^3+1\right)\sqrt{x^3+1}}+\frac{2}{\sqrt{x^3+1}}\end{align}
Ejemplo 5. Derivar \(y=\sin{8x}\)
Solución: sea \(u=8x\) de donde,
\begin{align}
&y=\sin{u}\Longrightarrow y^\prime=\cos{u}\frac{du}{dx}\\
&y^\prime=\cos{u}\frac{d}{dx}\left(8x\right)\\
&y^\prime=8\cos{u}=8\cos{8x}\end{align}
Ejemplo 6. Uso de la regla de la cadena dos veces. Derivar \(y=\sin^2{8x}}
Solución: sea \(u=\sin{8x}\) entonces
\begin{align}
&y=u^2\Longrightarrow y^\prime=2u\frac{du}{dx}\\
&y^\prime=2\sin{8x}\frac{d}{dx}(\sin{8x})\\
&y^\prime=2\sin{8x}(8\cos{8x})=16\sin{8x}\cos{8x}\end{align}
Ejemplo 7. Uso de la regla de la cadena dos veces. Derivar \(y=\tan^2{(4x)^2}\)
solución: \((4x)^2=16x^2\) de modo que si \(u=\tan{16x^2}\) se tiene que \(y=u^2,\) por tanto:
\begin{align}
&y^\prime=2u\frac{du}{dx}\Longrightarrow y^\prime=2\tan{16x^2}\frac{d}{dx}\left(\tan{16x^2}\right)\end{align}
Sea \(w=16x^2\) de donde \(\tan{16x^2}=\tan{w}.\)
\begin{align}
&y^\prime=2\tan{16x^2}\frac{d}{dx}\tan{w}\\
&y^\prime=2\tan{16x^2}\sec^2{w}\frac{dw}{dx}\\
&y^\prime=2\tan{16x^2}\sec^2{w}(32x)\\
&y^\prime=64x\tan{16x^2}\sec^2{16x^2}\end{align}
Ejemplo 8. Derivada de una exponencial. Determinar \(y^\prime\) si \(y=\sqrt[5]{\frac{5e^{2x}+1}{2e^x}}\)
Solución: sea \(u=\frac{5e^{2x}+1}{2e^x}\) entonces \(y=u^{1/5}\) de donde,
\begin{align}
&y^\prime=\frac{1}{5}u^{-4/5}\frac{du}{dx} \ \ \ {\rm además} \ \ \ \ u=\frac{5e^x}{2}+\frac{e^{-x}}{2}\\
&y\prime=\frac{1}{5}\left(\frac{5e^{2x}+1}{2e^x}\right)^{-4/5}\frac{d}{dx}\ \left(\ \frac{5}{2}e^x+\frac{1}{2}e^{-x}\right)\\
&f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{5}\frac{1}{\left(\frac{5e^{2x}+1}{2e^x}\right)^{4/5}}\left(\ \frac{5}{2}e^x-\frac{1}{2}e^{-x}\right)\\
&f^\prime=\frac{1}{5\sqrt[5]{\left(\frac{5e^{2x}+1}{2e^x}\right)^4}}\left(\ \frac{5e^x-e^{-x}}{2}\right)\\
&f^\prime\left(x\right)=\frac{5e^x-e^{-x}}{10\sqrt[5]{\left(\frac{5e^{2x}+1}{2e^x}\right)^4}}\end{align}
Ejemplo 9. Derivada de una función inversa. Derivar \(y=\tan^{-1}{\left(\frac{3x+5}{2x-4}\right)}\)
Solución: sea
\begin{align}
&u=\frac{3x+5}{2x-4}\ \Longrightarrow\ \ y=\tan^{-1}{u}\ \ \ \ \therefore\ \ \ y^\prime=\frac{1}{u^2+1}\frac{du}{dx}\\
&y^\prime=\frac{1}{u^2+1}\frac{d}{dx}\left(\frac{3x+5}{2x-4}\right)\\
&y^\prime=\frac{1}{\left(\frac{3x+5}{2x-4}\right)^2+1}\frac{\left(2x-4\right)3-(3x+5)2}{\left(2x-4\right)^2}\\
&y^\prime=\frac{1}{\frac{\left(3x+5\right)^2}{\left(2x-4\right)^2}+1}\frac{6x-12-6x-10}{\left(2x-4\right)^2}\\
&y^\prime=\frac{1}{\frac{\left(3x+5\right)^2+\left(2x-4\right)^2}{\left(2x-4\right)^2}}\frac{-22}{\left(2x-4\right)^2}\\
&y^\prime=\frac{\left(2x-4\right)^2}{9x^2+30x+25+4x^2-16x+16}\frac{-22}{\left(2x-4\right)^2}\\
&y^\prime=-\frac{22}{13x^2+14x+41}\end{align}
Ejemplo 10. Determinar la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la gráfica de \(y=\sqrt[5]{{3x}^3+4x}\) en el punto \((2,\ 2).\)
Solución: la recta tangente está dada por
\(R_t:y-2=m_t(x-2)\) mientras que la recta normal es \(R_n:y-2=-\frac{1}{m_t}(x-2)\)
Sea \(u=3x^3+4x\) entonces \(y=\sqrt[5]{u}\Longrightarrow\ y=u^\frac{1}{5}\)
\begin{align}
&{\rm Si} \ \ y=u^n\ \Longrightarrow y^\prime=nu^{n-1}\frac{du}{dx}\\
&y^\prime=\frac{1}{5}u^{-\frac{4}{5}}\frac{d}{dx}(3x^3+4x)\\
&y^\prime=\frac{1}{5u^\frac{4}{5}}(9x^2+4)\\
&y^\prime=\frac{9x^2+4}{5\sqrt[5]{(3x^3+4x)^4}}\\
&y^\prime(2)=\frac{9(2)^2+4}{5\sqrt[5]{(3(2t)^3+4(2)^4}}
&y^\prime(2)=\frac{8}{\sqrt[5]{\left(24+8\right)^4}}=\frac{1}{2}\end{align}
Recta tangente:
\begin{align}
&y=\frac{1}{2}\left(x-2\right)+2\\
&y=\frac{1}{2}x+1\end{align}
Recta normal, \(y=-2(x-2)+2\Longrightarrow y=-2x+6\)
Ejemplo 11. Determinar si la gráfica de la función \( {\rm g}(x)=\frac{3x^2}{\sqrt{x^2+2x-1}}\) posee una recta tangente horizontal en el punto \(x=1/2, 3/2)\).
Solución: si la recta tangente \(R_t\) es horizontal entonces \({\rm g}^\prime (1/2,\ 3/2)=0\) de donde,
\begin{align}
&{\rm g}^\prime=\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{vu^\prime-uv^\prime}{v^2}=0\\
&{\rm g}^\prime\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2+2x-1}\left(6x\right)-3x^2\frac{2(x+1)}{2\sqrt{x^2+2x-1}}}{\left(\sqrt{x^2+2x-1}\right)^2}\\
&{\rm g}^\prime(x)=\frac{\frac{6x\left(x^2+2x-1\right)-3x^2\left(x+1\right)}{\sqrt{x^2+2x-1}}}{x^2+2x-1}\\
&{\rm g}^\prime(x)=\frac{6x^3+12x^2-6x-3x^3-3x^2}{\left(x^2+2x-1\right)\sqrt{x^2+2x-1}}\\
&{\rm g}^\prime(x)=\frac{3x^3+9x^2-6x}{\left(x^2+2x-1\right)\sqrt{x^2+2x-1}}\end{align}
$${\rm g}^\prime\left(\frac{1}{2}\right)=
\frac{3\left(\frac12\right)^3+9\left(\frac12\right)^2-6}
{\left(\left(\frac12\right)^2+2\left(\frac12\right)-1\right)\sqrt{\left(\frac12\right)^2+2\left(\frac12\right)-1}}=-3$$
que por ser distinto de cero se concluye que la recta tangente no es horizontal, de hecho, la recta tangente es
$$y=-3\left(x-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{2}\ \Longrightarrow y=-3x$$
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Derivadas de funciones trigonométricas inversas.
Se dice que una función \({\rm g}(x)\) es la inversa de otra función \(f(x)\) (lo cual implica que la función \(f(x)\) es inyectiva debido a que solo las funciones inyectivas poseen inversas) si para todo x del dominio de \({\rm g}(x)\) la función \(f\left({\rm g}(x)\right)=x\) y además \({\rm g}\left(f(x)\right)=x.\)
Todas las funciones trigonométricas son periódicas lo cual significa que sus imágenes se repiten cada cierto valor (no son inyectivas), donde se dice que una función \(f(x)\) es periódica, o \(T\)-periódica, si está definida para todo \(t\in\mathbb{R}\) y si existe \(x>0,\) tal que \(f(x+T)=f(x)\) para todo \(x\in\mathbb{R}.\) El número \(T\) es llamado periodo de \(f(x),\) la gráfica de la función \(f(x+T)\) se obtiene por repetición periódica de la gráfica de \(f(x)\) en cualquier intervalo de longitud \(T\) y por tanto ninguna función trigonométrica es inyectiva, sin embargo, al restringir el dominio de las funciones trigonométricas para ciertos valores se pueden obtener funciones inversas.
Función seno inverso.
Suponga que existe una función y tal que \(\sin{x}=y\) al restringir su dominio bajo la condición \(-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}\) la función es inyectiva (uno a uno) y por tanto tiene inversa, dicha inversa es llamada seno inverso o arcoseno, la cual se define como sigue:
Definición de la función seno inverso (arcoseno)
La función seno inverso denotada por \(\sin^{-1}{x}\) o \(\arcsin{x}\) con dominio \([1,\ 1]\) y rango \(\left[-\frac{\pi}{2},\ \ \frac{\pi}{2}\right]\) como la función \(y\) tal que \(\sin{y=x}\) es decir,
$$y=\sin^{-1}{x}\Longleftrightarrow\sin{y}=x$$
Gráficamente la definición anterior puede interpretarse como se ve en la figura a la izquierda, y además \(D_x\left(\sin^{-1}{x}\right)\) es como sigue.
Sea \(\sin^{-1}{x}=y\) entonces determinar \(D_x\left(\sin^{-1}{x}\right)\) en este caso equivale a determinar \(dy/dx\).
De la definición se tiene \(\sin^{-1}{x}=y\) entonces \(x=\sin{y}\)que la derivar en ambos miembros con respecto de \(x\) se tiene:
$$
\frac{dx}{dx}=\frac{d}{dx}\left(\sin{y}\right)\Longrightarrow
1=\cos{y}\frac{dy}{dx}\Longleftrightarrow \frac{1}{\cos{y}} =\frac{dy}{dx}$$
Del triángulo de la izquierda se tiene,
Derivada de \(\sin^{-1}{x}\)
$$\frac{d}{dx}(\arcsin{x})=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
Función coseno inverso.
Al igual que en el caso anterior suponga que existe una función y tal que, \(\cos{x}=y,\) al restringir su dominio bajo la condición \(-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}\) la función es inyectiva (uno a uno) y por tanto tiene inversa, dicha inversa es
llamada coseno inverso o arcocoseno, la cual se define como sigue:
Definición de la función coseno inverso (arcocoseno)
La función coseno inverso denotada por \(\cos^{-1}{x}\) con dominio \([1,\ 1]\) y rango \(\left[0,\ \ \pi\right]\) como la función y tal que \(\cos{y=x}\) es decir,
$$y=\cos^{-1}{x}\Longleftrightarrow\cos{y}=x$$
La derivada de la función coseno inverso es como sigue.
Si \(y=\cos^{-1}{x}\) entonces \(dy/dx=D_x(\cos^{-1}{x})\)
De la definción Si \(y=\cos^{-1}{x}\) entonces \(x=\cos{y},\) que al derivar ambos miembros con respecto a \(x.\)
$$
\frac{dx}{dx}=\frac{d}{dx}(\cos{y})\Longrightarrow 1=-\sin{y}\frac{dy}{dx}\Longleftrightarrow
-\frac{1}{\sin{y}}=\frac{dy}{dx}$$
Del triangulo de la figura con la afirmación \(x=\cos{y}\) se obtiene
Derivada del \({\rm arccos}{x}\)
$$\frac{d}{dx}({\rm arccos}{x})=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
Otras funciones trigonométricas inversas.
Al igual que para los casos del seno y el coseno de un ángulo, se pueden restringir el dominio de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante de un ángulo con la finalidad de escribir funciones trigonométricas inversas para ellas.
Definición de la función tangente inversa (arco tangente). La función tangente inversa denotada por \(\tan^{-1}{x}\) o (\arctan{x}\) con dominio \((\mathbold{-\infty,\infty)}\) y rango \((-\pi/2,\pi/2)\) como la función ye tal que \(\tan{y=x}\) es decir, $$y=\tan^{-1}{x}\Longleftrightarrow\tan{y}=x$$ Ejemplo 3. Dada \{y}={\mathbf{tan}}^{-\mathbf{1}}{\mathbit{x}} determinar \mathbit{D}_\mathbit{x}\left({\mathbf{tan}}^{-\mathbf{1}}{\mathbit{x}}\right) 1. Como en el ejemplo si y=\tan^{-1}{x} entonces dy/dx=D_x\left(\tan^{-1}{x}\right). 2. Si y=\tan^{-1}{x} entonces x=\tan{y}, derivando ambos miembros con respecto de x, se concluye que 1=D_x\left(\tan{y}\right) lo cual produce el resultado 1=\sec^2{y}\frac{dy}{dx}\Longrightarrow\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sec^2{y}}\ \ de\ donde\ \frac{dy}{dx}=\cos^2{y} Por último, del triángulo rectángulo de la izquierda como x=\tan{y} se determina el valor de \sec{y} en términos de x. D_x\left(\tan^{-1}{x}\right)=\cos^2{y}=\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\right)^2=\frac{1}{x^2+1} Las demostraciones de las derivadas de las funciones \cot^{-1}{x} \sec^{-1}{x} \csc^{-1}{x}, se dejan al lector como parte de su práctica.
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Algunas reglas de derivación en cadena.
\begin{array}{l l} 1.\ \ \frac{d}{dx}\left[cu^n\right]=cnu^{n-1}\frac{du}{dx}&2.\frac{d}{dx}\left[\sin{u}\right]=(\cos{u})\frac{du}{dx}\\ 3.\frac{d}{dx}\left[\cos{u}\right]=-\sin{u}\frac{du}{dx}&4.\ \frac{d}{dx}\left[\tan{u}\right]=(\sec^2{u})\frac{du}{dx}\\ 5.\frac{d}{dx}\left[\cot{u}\ \right]=-\left(\csc^2{u}\right)\frac{du}{dx}&6.\frac{d}{dx}\left[\sec{u}\right]=\left(\sec{u}\tan{u}\right)\frac{du}{dx}\\ 7.\frac{d}{dx}\left[\csc{u}\right]=-\left(\csc{u}\cot{u}\right)\frac{du}{dx}&8.\frac{d}{dx}\left[\ln{u}\right]=\frac{u^\prime}{u}=\frac{1}{u}\frac{du}{dx}\\ 9.\frac{d}{dx}\left[\log_a{u}\ \right]=\frac{u^\prime}{\left(\ln{a}\right){u}}&10.\frac{d}{dx}\left[a^u\right]=(\ln{a})a^u\frac{du}{dx}\\ 11.\ \frac{d}{dx}\left[e^u\right]=e^u\frac{du}{dx}&12.\frac{d}{dx}\left[\arcsin{u}\right]=\frac{u^\prime}{\sqrt{1-u^2}}\\ 13.\ \frac{d}{dx}\left[\arccos{u}\right]=-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\frac{du}{dx}&14.\frac{d}{dx}\left[\arctan{u}\ \right]=\frac{1}{u^2+1}\frac{du}{dx}\\ 15.\frac{d}{dx}\left[{\rm arccot}{u}\right]\ =-\frac{1}{u^2+1}\frac{du}{dx}&16.\frac{d}{dx}\left[{\rm arcsec}{u}\right]=\frac{u^\prime}{\left|u\right|\sqrt{u^2-1}}\\ 17.=\frac{d}{dx}\left[ {\rm arccsc}{u}\ \right]=-\frac{u^\prime}{\left|u\right|\sqrt{u^2-1}} \end{array}